Eksamensoppgave 10 - 2020H eksempel

Funksjonen f er gitt ved

\(f(x)=\frac{a(x-1)(x+b)}{x^2-1}\)

Utforsk og beskriv egenskapene til f når a og b er reelle tall.

Vi ser at nevneren er null for \(x = \pm 1\). Funksjonen er ikke definert i disse punktene. For funksjon f gjelder:

\(f(x)=\frac{a(x-1)(x+b)}{x^2-1}= \frac{a(x-1)(x+b)}{(x-1)(x+1)}=\frac{a(x+b)}{x+1} = \frac{ax+ab}{x+1} \)

Vi ser at dette er en standard rasjonal funksjon, med vertikal asymptopte for \(x = -1\), og horisontal asymptopte \(y=a \).
Unntaket fra dette er når \(b=1 \). Da vil \(f(x)=\frac{a(x-1)(x+1)}{x^2-1}= \frac{a(x-1)(x+1)}{(x-1)(x+1)}= a \). f(x) forenkles altså til en konstant, men er ikke definert for \(x = \pm 1\).

Se undervisningsvideo om rasjonale funksjoner hvis du er usikker på denne.